☛ ** Points alignés

Énoncé

Soit \(\text{ABC}\) un triangle.
Les points \(\text{D}\) et \(\text{E}\) sont définis respectivement par \(\overrightarrow{\text{BD}}=\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}\) et \(\overrightarrow{\text{CE}} = 4\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{AC}}\).

1. Démontrer que \(\overrightarrow{\text{AD}}= 2\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}\).
2. Exprimer le vecteur \(\overrightarrow{\text{AE}}\) en fonction des vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\).
3. Démontrer que les points \(\text{A, D}\) et \(\text{E}\) sont alignés.

Solution

1. On a \(\overrightarrow{\text{BD}}= \overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}\) donc  \(\overrightarrow{\text{BA}} + \overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}\) d'après la relation de Chasles.
    Ainsi, \(\overrightarrow{\text{AD}}=\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}} - \overrightarrow{\text{BA}}\) soit \(\boxed{\overrightarrow{\text{AD}}= 2\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}}\) (car \(-\overrightarrow{\text{BA}} = \overrightarrow{\text{AB}}\)).

2. On a \(\overrightarrow{\text{CE}}= 4\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{AC}}\) donc  \(\overrightarrow{\text{CA}} + \overrightarrow{\text{AE}} = 4\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{AC}}\) d'après la relation de Chasles.
    Ainsi, \(\overrightarrow{\text{AE}}= 4\overrightarrow{\text{BA}}-\overrightarrow{\text{AC}} - \overrightarrow{\text{CA}}\) soit \(\boxed{\overrightarrow{\text{AE}}= -4\overrightarrow{\text{AB}}+2\overrightarrow{\text{AC}}}\) (car \(\overrightarrow{\text{BA}} = -\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(-\overrightarrow{\text{CA}} = \overrightarrow{\text{AC}}\)).

3. On a \(\overrightarrow{\text{AE}}=-2\overrightarrow{\text{AD}}\) donc les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AE}}\) et \(\overrightarrow{\text{AD}}\) sont colinéaires.
Les points \(\text{A, E et D}\) sont alignés.